Однаж ды незнакомец постучал в окно к богатому купцу и предложил такую сделку: «Я буду ежедневно в течение 30 дней приносить тебе по 100 ООО р. А ты мне в первый день за 100 000 р. дашь 1 копейку, во второй день за 100 000 р. — 2 копейки, и так каждый день будешь уве личивать предыдущее число денег в два раза. Если тебе выгодна сделка, то с завтрашнего дня начнем». Купец обрадовался такой удаче. Он подсчитал, что за 30 дней получит от незнакомца 3 000 000 р. На следующий день пошли к нотариусу и узаконили сделку. Кто в этой сделке проиграл: купец или не знакомец?
Запишем геометрическую прогрессию и найдем сумму 30 первых ее членов.
(b„): 1, 2, 4, 8,16, 32, 64,128, 256, 512, где в1= 1, q = 2, п =30.
Запишем формулу суммы п первых чле нов конечной геометрической прогрессии.
S30 = =230 -1 = (2s ) -1 = 1 0J3 741 932 (к.). Ответ очевиден — купец проиграл.
2) Магницкий «Арифметика» 1714 год
Задача:Некто продал лошадь за 156 рублей. Но покупатель раздумал ее купить из-за того, что считал лошадь таких денег не стоит. Тогда продавец предложил другие условия: «Купи только подковные гвозди, а лошадь получишь бесплатно. Гвоздей в каждой подкове 6. За первый гвоздь дай мне всего1∕4 копейки, за второй-1∕2 копейки, за третий-1 копейку и т. д.»
Покупатель, соблазненный низкой ценой, принял условия продавца.
На сколько покупатель проторговался?
РЕШЕНИЕ:
в1=1∕4,
в2=1∕2,
в3=1.
Если в каждой подкове по 6 гвоздей, то всего их 24. Значит, нужно найти S24.
q=в2∕в1=2, S=0,25 (224-1)=0,25 (1=475=42тыс рублей.
Задача:Некто продал лошадь за 156 рублей. Но покупатель раздумал ее купить из-за того, что считал лошадь таких денег не стоит. Тогда продавец предложил другие условия: «Купи только подковные гвозди, а лошадь получишь бесплатно. Гвоздей в каждой подкове 6. За первый гвоздь дай мне всего1∕4 копейки, за второй-1∕2 копейки, за третий-1 копейку и т. д.»
Покупатель, соблазненный низкой ценой, принял условия продавца.
На сколько покупатель проторговался?
РЕШЕНИЕ:
в1=1∕4,
в2=1∕2,
в3=1.
Если в каждой подкове по 6 гвоздей, то всего их 24. Значит, нужно найти S24.
q=в2∕в1=2, S=0,25 (224-1)=0,25 (1=475=42тыс рублей.
3) «Полный курс чистой математики, сочиненный Артиллерии Шкык-Юнкером и Математики партикулярным Учителем Ефимом Войтяховским в пользу и употребление юношества и упражняющихся в Математике» (1795).
Задача:Служившему воину дано вознаграждение: за первую рану 1 копейку, за другую - 2 копейки, за третью - 4 копейки и т. д. По исчислению воин получил вознаграждение в сумме 655 рублей 35 копеек. Спрашивается число его ран.
РЕШЕНИЕ:
в1=1, в2=2, в3=4
Sn=655, 35
q=2, Sn=2п-1=65535
2п=65536
n=16
Задача:Служившему воину дано вознаграждение: за первую рану 1 копейку, за другую - 2 копейки, за третью - 4 копейки и т. д. По исчислению воин получил вознаграждение в сумме 655 рублей 35 копеек. Спрашивается число его ран.
РЕШЕНИЕ:
в1=1, в2=2, в3=4
Sn=655, 35
q=2, Sn=2п-1=65535
2п=65536
n=16
4) Задача:Богач-миллионер возвратился из отлучки необычайно радостный: у него была по дороге счастливая встреча, сулившая большие выгоды. Рассказывает он домашним: « Вот и на мою деньгу денежка бежит. Повстречался мне в пути незнакомец, из себя не видный. Предложил выгодное дельце, что у меня дух захватывает».
«Сделаем,- говорит,- такой уговор. Я буду целый месяц приносить тебе ежедневно по сотне тысяч рублей. Недаром, разумеется, но плата пустяшная. В первый день я должен по уговору заплатить –смешно вымолвить – всего одну копейку. А за вторую сотню тысяч-2 копейки. И так целый месяц, каждый день вдвое больше предыдущего.
Находим выгодность сделки.
РЕШЕНИЕ:
Богач-миллионер заплатил незнакомцу:
S30=230-1==руб23коп=11миллионов рублей.
Незнакомец заплатил богачу:
30∙100тыс =3000 тыс =3000000 рублей.
Убыток: 8000000 рублей.
«Сделаем,- говорит,- такой уговор. Я буду целый месяц приносить тебе ежедневно по сотне тысяч рублей. Недаром, разумеется, но плата пустяшная. В первый день я должен по уговору заплатить –смешно вымолвить – всего одну копейку. А за вторую сотню тысяч-2 копейки. И так целый месяц, каждый день вдвое больше предыдущего.
Находим выгодность сделки.
РЕШЕНИЕ:
Богач-миллионер заплатил незнакомцу:
S30=230-1==руб23коп=11миллионов рублей.
Незнакомец заплатил богачу:
30∙100тыс =3000 тыс =3000000 рублей.
Убыток: 8000000 рублей.
5) Из старинных русских рукописей XV-XVIIIвв.
Задача:Некий человек хотел шахматную доску яблоками насыпать так: на первое положить одно яблоко, на второе – два, на третье – 4, на четвёртое – 8, на пятое – 16 и впредь на все 64 места – вдвое. Ино много ли на котором месте порозень и что всех яблок числом будет? А как ему те яблоки продавать по 2000 рубль и колино за все яблоки денег будет?
Количество всех яблок образует геометрическую прогрессию.
Решение:
S64=1(2^64-1)/2-1=2^64-1
Денег будет:
(2^64-1)/2000 рублей
Ответ:(2^64-1)/2000 рублей
Задача:Некий человек хотел шахматную доску яблоками насыпать так: на первое положить одно яблоко, на второе – два, на третье – 4, на четвёртое – 8, на пятое – 16 и впредь на все 64 места – вдвое. Ино много ли на котором месте порозень и что всех яблок числом будет? А как ему те яблоки продавать по 2000 рубль и колино за все яблоки денег будет?
Количество всех яблок образует геометрическую прогрессию.
Решение:
S64=1(2^64-1)/2-1=2^64-1
Денег будет:
(2^64-1)/2000 рублей
Ответ:(2^64-1)/2000 рублей
6)Старинная русская задача:
Шли семь старцев,
У каждого старца по семи костылей;
На каждом костыле по семи сучков;
На каждом сучке по семи кошелей;
В каждом кошеле по семи пирогов;
В каждом пироге по семи воробьёв.
Сколько всех?
Решение: 7+7*7+7*7*7+7*7*7*7+7*7*7*7*7+7*7*7*7*7*7=137256 Ответ: 137256.
Шли семь старцев,
У каждого старца по семи костылей;
На каждом костыле по семи сучков;
На каждом сучке по семи кошелей;
В каждом кошеле по семи пирогов;
В каждом пироге по семи воробьёв.
Сколько всех?
Решение: 7+7*7+7*7*7+7*7*7*7+7*7*7*7*7+7*7*7*7*7*7=137256 Ответ: 137256.
7)История из газеты
По сообщению одной газеты 1914 г., у судьи в г. Новочеркасске разбиралось дело о продаже стада в 20 овец по условию – уплатить за первую овцу 1 копейку, за вторую – 2 копейки, за третью – 4 копейки и так далее. Очевидно, покупатель соблазнился надеждою дешево купить стадо – и просчитался. Подсчитайте, какую сумму он должен был уплатить.
Оказывается, Магницкий не без основания снабдил решение этой задачи предупреждением:
Хотяй туне притяжати,
От кого что принимати,
Да зрит то себе опасно…
Решение:
(bₙ) - геометрическая прогрессия, b₁=1, q=2, n=20
S₂₀ = (1*(220-1))/2-1 = 220-1= 1048576-1 = 1048575
Ответ:1048575
По сообщению одной газеты 1914 г., у судьи в г. Новочеркасске разбиралось дело о продаже стада в 20 овец по условию – уплатить за первую овцу 1 копейку, за вторую – 2 копейки, за третью – 4 копейки и так далее. Очевидно, покупатель соблазнился надеждою дешево купить стадо – и просчитался. Подсчитайте, какую сумму он должен был уплатить.
Оказывается, Магницкий не без основания снабдил решение этой задачи предупреждением:
Хотяй туне притяжати,
От кого что принимати,
Да зрит то себе опасно…
Решение:
(bₙ) - геометрическая прогрессия, b₁=1, q=2, n=20
S₂₀ = (1*(220-1))/2-1 = 220-1= 1048576-1 = 1048575
Ответ:1048575
8)Е.С. Кочетков, Е.С. Кочеткова «Алгебра и элементарные функции» 1969г.
Задача:Сумма трех чисел, составляющих возрастающую Г.П., равна 65. Если от меньшего из этих чисел отнять 1, а от большего 19, то полученные три числа составят арифметическую прогрессию. Найти эти числа.
Ответ: 5, 15, 45
Задача:Сумма трех чисел, составляющих возрастающую Г.П., равна 65. Если от меньшего из этих чисел отнять 1, а от большего 19, то полученные три числа составят арифметическую прогрессию. Найти эти числа.
Ответ: 5, 15, 45
9)Е.С. Кочетков, Е.С. Кочеткова «Алгебра и элементарные функции» 1969г.
Задача: Бактерия, попав в живой организм к концу 20-й минуты делится на две; каждая из них к концу следующих 20 минут делится опять на две и т. д. Найти число бактерий, образовавшихся из одной бактерии к концу суток.
Решение: Изменяющееся количество бактерий представляет собой геометрическую прогрессию с первым членом 1 и знаменателем 2.
Посчитаем, сколько раз по 20 минут содержится в сутках:
24*3=72. Значит надо найти 73-й член прогрессии.
1*272 = 272
Ответ : 272
Задача: Бактерия, попав в живой организм к концу 20-й минуты делится на две; каждая из них к концу следующих 20 минут делится опять на две и т. д. Найти число бактерий, образовавшихся из одной бактерии к концу суток.
Решение: Изменяющееся количество бактерий представляет собой геометрическую прогрессию с первым членом 1 и знаменателем 2.
Посчитаем, сколько раз по 20 минут содержится в сутках:
24*3=72. Значит надо найти 73-й член прогрессии.
1*272 = 272
Ответ : 272
10)Е.С. Кочетков, Е.С. Кочеткова «Алгебра и элементарные функции» 1969г.
Задача:В квадрат со стороной a вписан путем соединения середин его сторон новый квадрат; в этот квадрат таким же образом вписан квадрат и так далее до бесконечности. Найти сумму периметров всех этих квадратов и сумму их площадей.
Решение: Периметры уменьшающихся квадратов равны числам: 4а, 2√2·а, 2а, ….. знаменатель прогрессии равен √2/2 Воспользуемся формулой суммы бесконечной геометрической прогрессии: S = 8a/(2-√2)
Задача:В квадрат со стороной a вписан путем соединения середин его сторон новый квадрат; в этот квадрат таким же образом вписан квадрат и так далее до бесконечности. Найти сумму периметров всех этих квадратов и сумму их площадей.
Решение: Периметры уменьшающихся квадратов равны числам: 4а, 2√2·а, 2а, ….. знаменатель прогрессии равен √2/2 Воспользуемся формулой суммы бесконечной геометрической прогрессии: S = 8a/(2-√2)
11)Н.Извольский «Курс элементарной алгебры» 1924
Задача:Сколько понадобится зерен ржи, чтобы эти зерна разложить на шахматной доске в таком порядке: на 1-ую клетку одно зерно, на 2-ую - два, на 3-тью - четыре и т. д., увеличивая всякий раз в 2 раза (имеется легенда, будто бы такую награду потребовал для себя изобретатель шахматной игры).
Ответ: воспользуемся формулой суммы п-первых членов геометрической прогрессии. Получим 264 -1
Задача:Сколько понадобится зерен ржи, чтобы эти зерна разложить на шахматной доске в таком порядке: на 1-ую клетку одно зерно, на 2-ую - два, на 3-тью - четыре и т. д., увеличивая всякий раз в 2 раза (имеется легенда, будто бы такую награду потребовал для себя изобретатель шахматной игры).
Ответ: воспользуемся формулой суммы п-первых членов геометрической прогрессии. Получим 264 -1
12)Киселёв «Элементы алгебры и анализа» 1931 год
Задача:Заметили, что население одного города увеличивается с каждым годом в одном и том же отношении. Как велико это отношение, если за 3 года население увеличилось с 10000 до 14641 человека?
Решение:
Пусть x - знаменатель геометрической прогрессии.
Первый член - 10000, а четвертый - 14641.
14641 = 10000 * x⁴
Задача:Заметили, что население одного города увеличивается с каждым годом в одном и том же отношении. Как велико это отношение, если за 3 года население увеличилось с 10000 до 14641 человека?
Решение:
Пусть x - знаменатель геометрической прогрессии.
Первый член - 10000, а четвертый - 14641.
14641 = 10000 * x⁴
13)Киселёв «Элементы алгебры и анализа» 1931 год
Задача:Доказать, что во всякой Г.П. сумма членов 4-го, 5-го и 6-го есть среднее геометрическое число между суммою 1-го, 2-го и 3-го членов и суммою 7-го, 8-го и 9-го членов.
Решение:
Рассмотрим геометрическую прогрессию: b1 . b2 . b3 . b4 . b5 . b6 . b7 . b8 . b9….
b4 + b5 + b6= b1(q3 + q4 +q5)= b1·q3·(1 + q +q2)
b1 + b2 + b3= b1(1 + q +q2)
b7 + b8 + b9= b1(q6 + q7 +q8) = b1·q6·(1 + q +q2)
(b1 + b2 + b3) · (b7 + b8 + b9) = b12·q6·(1 + q +q2)2= b12·(q3)2·(1 + q +q2)2
Вывод: утверждение доказано
Задача:Доказать, что во всякой Г.П. сумма членов 4-го, 5-го и 6-го есть среднее геометрическое число между суммою 1-го, 2-го и 3-го членов и суммою 7-го, 8-го и 9-го членов.
Решение:
Рассмотрим геометрическую прогрессию: b1 . b2 . b3 . b4 . b5 . b6 . b7 . b8 . b9….
b4 + b5 + b6= b1(q3 + q4 +q5)= b1·q3·(1 + q +q2)
b1 + b2 + b3= b1(1 + q +q2)
b7 + b8 + b9= b1(q6 + q7 +q8) = b1·q6·(1 + q +q2)
(b1 + b2 + b3) · (b7 + b8 + b9) = b12·q6·(1 + q +q2)2= b12·(q3)2·(1 + q +q2)2
Вывод: утверждение доказано
14)Киселёв «Элементы алгебры и анализа» 1931 год
Задача:Разделить 76 на 3 такие части, составляющие Г. П., чтобы сумма 1-й и 3-й части относилась ко 2-й части, как 13:6.
Решение: Рассмотрим геометрическую прогрессию: b1 . b2 . b3
b1 + b2 + b3= 76
(b1 + b3) ·6 = b2 · 13
Значит: 76- b2 = b2 · 13/6
b2 = 24
24/ q + 24 + 24 q =76
24 q2 - 52 q +24 = 0
q =2/3
q = 3/2
Ответ: 36,24,16 или 16, 24, 36
Задача:Разделить 76 на 3 такие части, составляющие Г. П., чтобы сумма 1-й и 3-й части относилась ко 2-й части, как 13:6.
Решение: Рассмотрим геометрическую прогрессию: b1 . b2 . b3
b1 + b2 + b3= 76
(b1 + b3) ·6 = b2 · 13
Значит: 76- b2 = b2 · 13/6
b2 = 24
24/ q + 24 + 24 q =76
24 q2 - 52 q +24 = 0
q =2/3
q = 3/2
Ответ: 36,24,16 или 16, 24, 36
15)Киселёв «Элементы алгебры и анализа» 1931 год
Задача:Могут ли стороны прямоугольного треугольника составлять Г.П.?
Решение: Пусть b1 < b2 < b3 –стороны треугольника
b2 = b1 q
b3= b1 q2
(b1)2 + (b2 )2 = (b1)2 (1 + q2)
(b3)2= b12 q4
По теореме Пифагора имеем: q4 = 1 + q2
q4 - q2 - 1 = 0
Это уравнение имеет два корня. А значит можно построить геометрическую прогрессию из трех чисел, чтобы стороны прямоугольного треугольника были им равны.
Задача:Могут ли стороны прямоугольного треугольника составлять Г.П.?
Решение: Пусть b1 < b2 < b3 –стороны треугольника
b2 = b1 q
b3= b1 q2
(b1)2 + (b2 )2 = (b1)2 (1 + q2)
(b3)2= b12 q4
По теореме Пифагора имеем: q4 = 1 + q2
q4 - q2 - 1 = 0
Это уравнение имеет два корня. А значит можно построить геометрическую прогрессию из трех чисел, чтобы стороны прямоугольного треугольника были им равны.
Авторская задача на геометрическую прогрессиию.
Шуховская водонапорная башня в - гиперболоидная водонапорная
конструкция В.Г. Шухова, высотой 70 м., объемом бака - 300 м3. была построена в
1927 году. Основным предназначением башни была заправка паровозов водой, в
годы, когда Петушки являлись крупной узловой станцией. Известно, что на
заправку паровозов с помощью башни в 1927 году ушло 13440 л. , в 1928 году около
12096 л. .Сколько литров воды ушло на заправку паровозов в 1960 году, если
известно, что это количество ежегодно сокращалось в геометрической прогрессии
вплоть до 1970 года.
Решениие:
bn = b1 * qn-1, где
n – порядковый номер члена прогрессии,
b1 – первый член последовательности,
q – знаменатель.
q = 12096 / 13440 = 0,9
b1 = 13440
b34 = 13440 * 0,933 ~ 415 л.
